“芝诺的阿基里斯”解析及对“无限”的推论 【初稿】（简稿）

思想悖论——“芝诺的阿基里斯”解析及对“无限”的推论

【初稿】

by 鸢北

《芝诺的阿基里斯》：

设想跑步者阿基里斯和乌龟之间进行一场赛跑。乌龟被安排领先一段路程，他俩则同时起跑。自然阿基里斯必须先跑过起跑线和乌龟的起始线之间的这段距离，但同时乌龟也会向前怕一段路程；于是阿基里斯就必须要跑过乌龟的起始点和它刚爬到的地点之间的这段距离，而此时乌龟又向前爬了一点；如此反复。无论阿基里斯何时达到乌龟刚爬到的地点，乌龟早已向前爬了一点，所以即使阿基里斯不断缩小自己与乌龟之间的距离，他却永远追不上乌龟。但这绝对是有问题的！

其次，抛开乌龟不论，阿基里斯会因为上述同样的问题而永远不能抵达终点线，这怎么可能呢？

再次，在阿基里斯跑完全程之前，他必须跑完全程的一半；在他跑完这一半的路程之前他必须跑完这一半的一半；以此类推。事实上，这样看来阿基里斯甚至都不可能开始赛跑！

出处：根据亚里士多德，这是他为芝诺（约公元前500年）所写（有关芝诺悖论最早的文献记载见诸于亚里士多德《物理学》第六卷。由于问题的原始版本无法获得，上述为若干当代版本的结合。

                                       【以上摘自《图利的猫》】

解析

一、

首先，构建一个同“芝诺的阿基里斯”相同的赛道，假设一个体积10000的人要跑完这段定长，需要迈一步即可，那么体积5000的人需要迈两步，体积1的人需要迈10000步，体积0.0001的人需要迈100000000步；以此类推。

所以体积越小，所需步数越多，时间也越多。而在那个体积10000的人眼中，根本不存在更多的步数。所以当人的体积“无限小”时，步数和时间也会等比地“无限大”。

所以“无限”是一个相对的量。期中每一个物体都有他所对应的量，而这个范围没有边界。

二、

假设让一个人画“无限”个点。他一秒若能画1个，那么5秒5个，10秒10个，以此类推，符合前面所说的“相对性”。那么换言之，这个数目随着时间的变化而变化，每一秒都不一样，因为正如前文所说，“这个范围是没有边界的，数目会一直变化下去。所以，“无限”一直是一个变化的范围。

提问：一个有无限个房间的旅店住了无限个客人，一一对应，此时又来了一个客人，于是每个客人往后移了一间房，他又能住了？

——这个问题我已有解答，有空了以后再发